1860ta Ankarada doğdu. Müderris Börekçizade Ali Kazım Efendinin oğludur. İlk ve orta öğrenimini, Sıbyan Mektebi ve Ankara Rüştiyesinde tamamladı. Sonra yüksek öğrenimi için İstanbula gitti. Orada Bezayit Medresesi Müderrislerinden Atıf Efendinin tedrisinde devam ederek ondan müderrislik icazeti aldı. İlk memuriyetine Ankara-Fazliye Medresesi öğretim üyesi olarak başladı. 23 Ekim 1898de Ankara İstinaf Mahkemesi üyeliğine atandı. 13 Mayıs 1904te yapılan seçimlerde üyelikten ayrıldı ise de 20 Temmuzda yeniden üyeliğe getirildi. 25 Kasım 1908 tarihinde de Ankara Müftüsü oldu.
Ayrıca 1911 yılında bir müddet Sivrihisar Kaymakamlığı görevini de vekaleten yürüttü. Bu arada memuriyetinin yanı sıra, eğitim-öğretimle olan ilgisini devam ettirdi. Mehmet Rıfat Börekçi, Sivas Kongresi ile birlikte Anadoludaki mücadeleye katıldı. 29 Ekim 1919 tarihinde, Ankara Müdafaa-i Hukuk Cemiyetinin kurulmasına öncülük yapanlardandı. Bu cemiyetin, Milli Mücadeleye önemli katkısı olmuştur. Özellikle, Heyet-i Temsiliye ve Mustafa Kemal Paşanın Ankaraya geldiği tarihe kadar olan sürede; Vilayet dahilinde teşkilatlanmaya önem verildiği, ülke içindeki diğer milli faaliyetlerle irtibatlı olarak gerektiğinde yardım veya yerine göre, milli birlik ve beraberliğin sağlanmasında her türlü destekte bulunulduğu görülmektedir.
Müftü Mehmet Rifat Efendinin Milli Mücadele lehindeki çalışmaları özellikle Ankara Fetvasını hazırlaması Damat Ferit ve Hükümetini çileden çıkardı. Bu nedenle ilk önce 24 Nisan 1920de Padişah iradesiyle işten el çektirildiyse de Milli Hükümet tarafından Müftülük görevinde alıkonuldu. Daha sonra Kuva-yı Milliye adı altında çıkarılan fetne ve fesadın hazırlayıcısı ve teşvikçilerinden olduğu iddiasıyla I. Örf-i Divan-ı Harbince ölüme mahkum edildi. TBMMnin I. Dönemi için yapılan seçimlerde Menteşe (Muğla) Milletvekili olarak 23 Nisan 1920de Meclisin açılışında hazır bulundu.
5 Eylül 1920de kabul edilen Nisab-ı Müzakere Kanunu, memurluk ile milletvekilliğinin bir kişi üzerinde bulunmasını yasaklamıştır. Bu sebeple, Ankara Müftülüğünü tercih ettiği Şeriye ve Evkaf Vekaletinin 13 Ekim 1920 tarihli yazısıyla Meclis Başkanlığına bildirilmekle milletvekilliğinden istifası 27 Ekim 1920 tarihli birleşimde kabul edildi. 23 Aralık 1922de Şeriye ve Evkaf Vekaleti İfta Heyeti Üyeliğine atandı. 31 Mart 1924te de yeni kurulan Diyanet reisliğinin ilk başkanı oldu. Börekçe 5 Mart 1941deki ölümüne kadar bu görevini sürdürdü.